初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》,蝶形定理

1、初中数学拓展课程精品教案：《4点共圆巧解难题》

去百度文库，查看完整内容> 内容来自用户:沈林荣 4点共圆巧解难题

1、知识准备 4点共圆的概念、性质、判定方法

2、拓展导学 【问题解决】 例1：如图，在矩形ABCD中，延长CB至点E，使CE=CA；F为AE中点，连结BF、DF. 求证：BF⊥DF 解法1：连结CF，在等腰△ACE中，用3线合1的性质可得 CF⊥AE，即∠CFA=90° ∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A，F，C，D共圆， 即F在△ACD的外接圆上 又∵在矩形ABCD中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A，B，C，D共圆，即B在△ACD的外接圆上 ∴可得点F，B，C，D4点共圆，由圆内接4边形 对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF⊥DF. 解法2：

1、图形所在平面内找出1点，如果能使这1点到点F，B，C，D的距离都相等，那么由点与圆的位置关系可得这4点共圆；

2、连结BD，与AC交于点G，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG；

3、连结FG，由点F，G分别是AE，AC的中点得FG是 △AEC的1条中位线，所以可证FG=CE=CA=CG， 即FG=BG=DG=CG；

4、由点与圆的位置关系可得点F，B，C，D都在以点G为圆心、FG的长为半径的圆G上，即点F，B，C，D4点共圆（后续过程同解法1）. 【难题呈现】 例2：如图，锐角△ABC中，∠A=60°，BC=4，△ABC的面积等于6，点P是BC边上的动点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E. 求线段DE的最小值. 【证明1：。

2、蝶形定理

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之1。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象1只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。这个命题最早作为1个征解问题出现在公元1815年英国的1本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国1个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发现了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第1个证明，完全是初等的；另1个个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外1种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）1书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有1句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的1种比较简单的方法（利用直线束，2次曲线束）。该定理实际上是射影几何中1个定理的特殊情况，有多种推广：1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2. 圆可以改为任意圆锥曲线。3. 将圆变为1个完全4角形，M为对角线交点。4. 去掉中点的条件，结论变为1个1般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立。以下是证明过程如图，过Y作EF//AD，交DC的延长线于E，交AB于F。∵ ∠ADE = ∠ABC，又 ∠ADE = ∠FED （内错角相等）∴ ∠ABC = ∠FED∴ C,E,B,F 4点共圆由相交弦定理可得 EY × YF = BY × YC显然 ΔAMD ∽ ΔFME , ΔAMX ∽ ΔFMY , ΔXMD ∽ ΔYME∴ MX² : (AX × XD) = MY² : (EY × YF) = MY² : (BY × YC)由相交弦定理可得 AX × XD = PX × XQ , BY × YC = PY × YQ∴ MX² : (MX² + PX × XQ) = MY² : (MY² + PY × YQ)∵ MX² + PX × XQ = (PM - PX)² + PX × (2PM - PX) = PM²MY² + PY × YQ = (MQ - YQ)² + PY × (2QM - PY) = QM²∴ MX² : PM² = MY² : MQ² , MX : PM = MY : MQ又 PM = MQ∴ MX = MY , 得证向左转|向右转。

3、北师大版初中数学9下第3章圆教案

圆是1种几何图形，指的是平面中到1个定点距离为定值的所有点的集合，是初中9年级的数学学习重点内容，下面我为你整理了北师大版初中数学9下第3章圆教案，希望对你有帮助。 　　北师大版数学9下圆教案：圆的有关性质 　　教学过程： 　　

1、 复习旧知： 　　

1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释) 　　

2、在1张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的? 　　

2、 讲授新课： 　　

1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。 　　分析归纳圆定义： 　　在1个平面内，线段绕它固定的1个端点旋转1周，另1个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 　　注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O 　　

2、进1步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出： 　　

1、 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径) 　　

2、 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心， 　　定长为半径的圆上。由此得出圆的定义： 　　圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 　　例如，到平面上1点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的1个圆。 　　

3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。 　　圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 　　

4、初步掌握圆与1个集合之间的关系： 　　⑴已知图形，找点的集合 　　例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆， 　　则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合; 　　以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到 　　圆心O的距离小于2cm的所有点的集合; 　　以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到 　　圆心O的距离大于2cm的点的集合。 　　⑵已知点的集合，找图形 　　例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。 　　

5、点与圆的位置关系： 　　点在圆上，点在圆内，点在圆外。 　　点与圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系如下： 　　设圆心为O，半径为r，点P到点O的距离为d，则有 　　点P在圆内 OP>r 　　点P在圆上 OP=r 　　点P在圆外 OP 　　例1：求证：矩形的4个顶点在以对角线的交点为圆心的同1个圆上。 　　〈分析〉证明多点共圆，由圆的定义知道，即要证明点A、B、C、D到点O等距离。 　　

3、 巩固练习： 　　

1、已知△ABC中，∠C = 90 ，AC = 2cm，BC = 4cm，CM为中线，以C为圆心， cm长为半径画圆，则A、B、C、M4点中在圆外的有 　　在圆上的有 ，在圆的内部有 。 　　

2、课本P 　　

3、我们学过的所有顶点共圆的图形还有那些? 　　33.5 O 　　

4、课后小结： 　　

1、圆的两种定义 　　

2、圆的内部，圆的外部的定义 　　

3、点与圆的位置关系 　　

4、点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系 　　

5、多点共圆的证法 　　

5、布置作业： 　　课本P

1、(1，2)、

2、

3、4 　　教学设计说明 　　本节课主要是通过圆的概念的探讨，深入地了解圆的形成，从而使学生脱离在小学时的对圆的肤浅认识，掌握圆在初中的知识里更完整的定义。 　　在教学重点上关键让学生了解圆的两点，简单的说，到圆心距离等于半径的点在圆上，圆上的点到圆心的距离等于半径，在圆的概念的引入时，首先利用集合的语言去解释圆，例如像前面学过的角平分线及中垂线的集合定义，然后利用图形的画法理解圆的定义，这样设计的目的是为了培养学生数形结合的思想。 　　在教学的讲授中，先让学生自己动手去演示圆的形成，要了解画1个圆的两个必需条件：定点和定长;让学生自己去体会圆的概念，同时，还会体会到圆的内部和外部的意义，并能等同的用集合的定义解释内部和外部，从而又能引出1个点和圆的位置关系，那么，学生会在1系列的过程中更清楚的认识圆的定义，更完整的了解圆。例题的设计是为了使学生掌握多点共圆必须要以定义为依据，并能探索其他的所有顶点共圆的图形。 　　北师大版数学9下圆教案：点和圆，直线和圆关系 　　

1、教学内容分析 　　圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的1节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用。 　　

2、学情分析 　　根据初3学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强，并且在初1，初2基础上初3学生有1定的分析力，归纳力和根据他们的特点，联系生活实际中结合问题结合本节课适合学生的学习材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的1节课。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点;通过对研究过程的反思，进1步强化对分类和化归思想的认识。 　　

3、教学目标与教学重难点 　　1教学目标： 　　⑴知识与技能 　　

1、理解直线与圆有相交、相切、相离3种位置关系。 　　

2、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。 　　⑵过程与方法 　　

1、经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力。 　　

2、通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。 　　⑶情感、态度与价值观 　　

1、通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 　　

2、在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 　　2教学重点 　　

1、经历探索直线与圆位置关系的过程。 　　

2、理解直线与圆的3种位置关系。 　　3教学难点 　　经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的3种位置关系。 　　

4、教学过程 　　

1、创设问题情境，引入新课 　　[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些? 　　[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等于半径;圆的内部到圆心的距离小于半径;圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点和圆的位置关系有3种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内. 　　[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系. 　　

2、新课讲解 　　

1、.复习点到直线的距离的定义 　　[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 　　如下图，C为直线AB外1点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离. 　　

2、.探索直线与圆的3种位置关系 　　[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的.大家请看这几幅图片(出示日出的图片)，观察图中地平线和太阳的位置关系怎样? 　　[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有3种位置关系。 　　[师]直线和圆有3种位置关系，如下图： 　　它们分别是相交、相切、相离. 　　当直线与圆相切时(即直线和圆有唯1公共点)，这条直线叫做圆的切线。 　　当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 　　当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 　　因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪1种位置关系，你能总结吗? 　　[生]当直线与圆有唯1公共点时，这时直线与圆相切; 　　当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交; 　　当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离。 　　[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定3种位置关系呢? 　　[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时， 　　d 　　d=r;当直线与圆相离时， 　　d>r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系。 　　[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法：1种是从直线与圆的公共点的个数来断定;1种是用d与r的大小关系来断定。 　　(1)从公共点的个数来判断： 　　直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交;直线与圆有唯1公共点时，直线与圆相切;直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。 　　(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断： 　　d 　　d=r时，直线与圆相切; 　　d>r时，直线与圆相离. 　　[例1]在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC= 4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系?为什么? 　　(1)r=2cm; (2)r=2.4cm; (3)r=3cm 　　

3、.议1议 　　你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗? 　　

3、课时小结 　　本节课学习了如下内容： 　　直线与圆的3种位置关系. 　　(1)从公共点数来判断. 　　(2)从d与r间的数量关系来判断. 　　

4、活动与探究 　　如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域. 　　(1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么? 　　(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长? 　　

5、作业 　　课后练习 　　

5、教学反思。

4、初中数学精品微课教案--圆内接4边形(4点共圆)的判定__第2课时

去百度文库，查看完整内容> 内容来自用户:沈林荣 圆内接4边形（4点共圆）的判定 第2课时 录制时间：2014年10月微课时间：8分钟 微课名称｜圆内接4边形（4点共圆）的判定_第2课时｜ 知识点描述｜“4点共圆”在解题中的运用｜ 知识点来源｜学科： 初中数学 年级： 9（上） 教材： 浙教版 章节：§3.6 ｜（教材拓展知识点）｜ 基础知识｜听本微课之前需了解的知识：｜圆内接4边形（4点共圆）的概念、性质、判定方法｜ 教学类型｜讲授型｜自主学习型｜ 适用对象｜学生：本微课针对本学科平时成绩100-120分的学生｜ 设计思路｜第1课时微探究作业（例1）解法分析→常规解法、4点共圆法解题比较→“4点共圆”突破难题→微探究作业｜ 教学过程｜ 内 容｜画面｜时间｜

1、片头｜（30秒以内）｜引语：“同学们好，在第1课时学完4点共圆的判定后，今天这节微课重点讲解4点共圆在解题中的运用。”｜几何画板课件“封面”页｜。