初中数学13类最值问题,基本不等式在最值问题中的运用
1、初中数学13类最值问题
单条直线1.两点异侧:图中有两点A，B，直线l位于点A，B之间，在直线l上取1点P，使得PA+PB距离最小，求问:P位置在哪？2.两点同侧:将军饮马问题，图中有两点A，B，直线l位于点A，B另外1侧，在直线l上取1点P，使得PA+PB距离最小，求问:P位置在哪？3.两点同侧:图中有两点A，B，直线l位于点A，B另外1侧，在直线l上取1点P，使得｜PA-PB｜距离最大，求问:P位置在哪？4.两点异侧:图中有两点A，B，直线l位于点A，B之间，在直线l上取1点P，使得｜PA-PB｜距离最大，求问:P位置在哪？单个角5.作个角为∠o，点A在∠o的内部，在角的两边上分别取两个点E，F，使得△AEF的周长最小？两条平行直线6.作点A，B，点A，B位于两条直线外侧，在两条直线上分别取两个点E，F，使得AE+EF+FB最小？7.作点A，B，点A位于直线内部，点B位于直线内侧，在两条直线上分别取两个点E，F，使得AE+EF+FB最小？8.作点A，B，点A，B位于直线内部，在两条直线上分别取两个点E，F，使得AE+EF+FB最小？其他9.如图所示，点B是水平直线上的1个动点，点E在另外1条直线上，如何确定点E和B的位置，使AE+EB最小？10.点A，B位于直线的上方，点E，F位于直线上，确定EF长度为a，如何确定E，F的位置使得AE+BF最小？11.造桥选址问题:作两条平行的直线，点A位于两条直线1侧，点B位于两条直线另1侧，现在在两条直线上各取1点为E，F，问E，F位于两条直线何处，使得AE+EF+FB最小？12.作∠AOB为90°，点A，B位于OA，OB上，作点C，与点A，B组成3角形，求OA的最大值。13.作圆o，点p位于圆o外，分别求出点p在圆o上距离最近和最远的点。
2、基本不等式在最值问题中的运用
解:设每个小矩形长为 x,宽为 y,则 4x+3y2200, S=3xy=x (200-4x) =4x (50-x) W4,( )~2500,・••当且仅当 x=50-x,即 x=25 时,S 喚=2500 (nf),故选 C.Ja c r例30.设1 WaWbWcWdWlOO,则—+ —的最小值为( )b a。
3、抛物线的最值问题
是的，x = -b/(2a)，理由如下2次函数y =ax²+bx+c(a≠0，a,b,c是常数）=a(x²+bx/a ) +c=a + c=a² + (4ac-b²)/(4a)所以当x = -b/(2a)时y有最值当a<0时y有最大值，当a>0时，y有最小值。抛物线定义平面内与1个定点F和1条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第2定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0
4、线性规划问题是针对( )求最值问题。
D。
5、3角函数最值问题 sinX除以（cosX+2)最大值怎么求?
设y=sinx/(cosx+2),则 sinx-ycosx=2y √(1+y^2)sin(x-a)=2y,(tga=y)即 sin(x-a)=2y/√(1+y^2),所以 |2y/√(1+y^2)|≤1 -√3/3≤y≤√3/3 即最大值为√3/3。
6、(2)向量中的最值问题
A解析：[分析]将两个向量,都转化为两个方向上,然后利用数量积的公式和3角函数的值域,求得题目所求数量积的取值范围.练习1.已知是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量满足,则对于任意的最小值为________.当且仅当, 时,取得最小值此时,取得最小值练习2.在边长为1的正△ABC中,=x,=y,x>0,y>0且x+y=1,则•的最大值为( )A. B. C. D.C,,由此能求出当时,的最大值为.练习1.在中,过中线的中点任作1直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是 .,∵共线,∴.,当且仅当时等号成立,故最小值为.[名师点睛]本题首先考查向量的线性运算,实质就是求出满足的等量关系,题中唯1的关系就是3点共线,由此联想平面向量的1个定理:是平面的1个基底, ,则3点共线.这样只要由平面向量的线性运算把用表示出来就可得的等量关系.然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值.练习2.如图,在中,是线段上的1点,且,过点的直线分别交直线于点,若,,则的最小值是 .考点:
1、向量的概念及几何表示;
2、向量数乘运算及几何意义;
3、向量数量积的含义及几何意义.方法点睛:由向量减法法则可知,代入已知条件得到,再把已知条件,代入得到,根据3点共线得,利用均值不等式得到,而,从而求得的最小值是.练习3.在4面体中,点,分别为,的中点,若,且,,3点共线,则A. B. C. D.B。
