尺规作图可以做出那些正多边形？做不出来那些？有什么规律？正多边形的尺规作图

1年前

1、尺规作图可以做出那些正多边形？做不出来那些？有什么规律？

用1个圆规和无刻度的直尺怎画正17边形步骤1：给1圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度步骤2：作AE中点M，并以M为圆心作1圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作1圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。步骤3：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十7边形之第1顶点，P4为第4顶点，P6为第6顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十7边形的所有顶点。PS:1个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是1个费马质数。换句话说，只有正3边形、正5边形、正十7边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另1个费马质数。）。

2、正多边形的尺规作图

直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。但是在古希腊时，作图只使用没有刻度的直尺（unmarked ruler）和圆规（compass）。用尺规作正偶边形如2n,3×2n,5×2n等正多边形并非难事。但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。 1798年，德国数学家高斯只有19岁，他成功的以圆规直尺做出1个正十7边形，[1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是，高斯本人实际上并不会做正十7边形。第1个真正的正十7边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）]给出.并证明了正多边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以尺规作图出来，当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。▲费马质数相关。

3、正多边形的作图,正边形的中心角为_________.

利用正多边形的中心角相等,1个周角为度求解. 解:正边形的中心角为,故答案为:. 本题考查了正多边形的中心角的求得,记住公式是解题的关键.利用了正多边形的中心角相等,1个周角为度求解.。

4、正多边形尺规作图的问题

2千多年前，古希腊数学家曾深入研究过1类作图问题，即：如何利用尺规作内接正多边形。早在《几何原本》1书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正3边形、正4边形、正5边形，甚至正十5边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正

7、

9、11……边形却未能做出。让后来数学家尴尬的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进1步。因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十7边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正7边形或正9边形等的作图，却偏偏隔下中间这1些直接完成了正十7边形。为什么第1个新做出的正多边形是正十7边形而不是正

7、9边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正7边形或正9边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规做出？在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了1个漂亮的回答。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n边形，当n满足如下特征之1方可做出： 1) n=2^m；（为正整数） 2) 边数n为素数且形如 n=2^(2^t)+1（t=0 、

1、2……）。简单说，为费马素数。 3) 边数 n具有n=2^mp1p2p3...pk ，其中p

1、p

2、p3…pk为互不相同的费马素数。由高斯的结论，具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前5个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有

3、

5、1

7、25

7、65537。进1步，可以做出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这5个数组合而得到。这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规做出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数相结合而得到。